順列と組合せ計算

順列と組合せは、 高校数学でつまづき易い所です。

順列と組合せに共通する点

10人の中から3人、などのように、何人(個)かの中から、何人(個)かを取り出すときの可能なパターンを数え上げる。

順列と組合せの異なる点

• 順列：順序を区別する。一列に並ぶ場合など
• 組合せ：順序は区別しない。チーム・班を作る場合など

数え方

10人の中から、3人を選び、一列に並ぶ場合(順列)を考えてみます。先頭・中央・末尾の順に考えてみましょう。

まず先頭は、10人のうち誰でも良いですね。では中央はどうでしょうか。既に先頭に1人選ばれていますから、残りは9人です。9人の中から誰かを選びます。末尾は、既に先頭・中央と2人選ばれているので、残り8人の中から誰かをえらびます。

そうすると、先頭は10通り、中央は9通り、末尾は8通りあるので、並び方のパターンは 10 x 9 x 8 = 720 通り、となります。

一般化すると、n人から選ぶ場合は、1人目(個目)の可能性はn、2人目(個目)の可能性はn-1、3人目(個目)の可能性はn-2、、、というようになります。

さらに一般化すると、n人からr人を選ぶ場合は、n * (n-1) * ... * (n-r+1) となります。これ(n人からr人を選ぶ順列のパターン数)を _nP_r と書きます。Pは、英語のpermutationからです。

_nP_r = n * (n-1) * ... * (n-r+1)

実際の計算のときは、n * (n-1) * ... * (n-r+1) の部分に数字がr個並ぶと考えればOKです。

たとえば、10人から4人選ぶなら、10, 9, 8, と順に数字を書いていきます。そうすると

となるので、₁₀P₄ = 10 x 9 x 8 x 7 と分かります。

組合せの場合

組合せの場合は、順列と同じように並べた後で、並び順を無視したら同じになるパターン数で割ると数えられます。

3人が一列に並ぶ場合と、3人グループを作る場合で考えてみます。3人はA,B,Cとします。

ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBAの6つが、順列では異なるものと判定しますが、組合せでは同じと判定します。

このとき、同じと判定するパターン数は、3つの中から3つ並べる順列、つまり₃P₃です。

₁₀C₃は、₁₀P₃/₃P₃になります。Cは、英語のcombinationからです。

一般化すると、

_nC_r = _nP_r /_rP_r

です。

実際の計算は、10個から3個選ぶ、なら、

₁₀P₃ = 10 x 9 x 8 と数字を3つ並べる

₃P₃ = 3 x 2 x 1 と数字を3つ並べる

のようにすれば計算できます。

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