モンティホール問題

確率の計算と、ヒトの主観とが異なるケースがある、というのを示したのがモンティホールの実験です。

3つのドア

モンティホールが司会するテレビ番組。 3つのドアのうち、1つが当たり、のこりはハズレ。 参加者は一つのドアを選ぶ。 司会者は、選ばれなかったドアから、ハズレのドアを一つ開ける。 この後、参加者は選んだドアを変更できる。

モンティホール問題

司会者の選択(ルール設定)

司会者はどのドアが当たりかを知っている。 参加者がハズレを選んだ場合は、残り二つのドアのうち、ハズレの方を開ける。 参加者が当たりを選んだ場合は、二つのドアのいずれかを無作為に選び、開ける。

変更する方が当たりやすい

参加者がAを選んだとすると、司会者はBかCのどちらかを開く。

当たりのドア A B C
司会者は Bを開く Cを開く Bを開く
Cを開く
  • 当たりがAだった場合は、司会者はBかCかをランダムに開く。
  • 当たりがBだった場合は、司会者はCを必ず開く。
  • 当たりがCだった場合は、司会者はBを必ず開く。

仮に司会者がBを開いた場合、「AかCのどちらかが当たり」は正しい。しかし、Aが当たりの場合はBを開くこともCを開くこともある。したがって、「Aが当たり½、Cが当たり½」ではない

上の図で薄い緑色の部分をみてみると、「Aが当たり:Cが当たりは、1:2」である。

主観とのズレ

ベイズの定理に従って計算すると、当然ながら変えると2/3の確率で当たり、と出る。 しかしながら、ぱっと見では、1つハズレが開いたのだから、どちらも1/2と考えてしまいがちだ。

キモは、司会者が必ずハズレを開ける(当たりを開けない)点である。 このことを見過ごす、あるいはこのことが確率に与える影響を間違える、あたりが主観とズレる要因であろう。

心理的抵抗

テレビのルールでは、最初に自分で選ぶ、という条件があった。 このため、後から変えることがためらわれる、という心理的抵抗も考えられる。

(1)自分でAを選ぶ、司会者がハズレを1つ開ける(例えばBを開ける)、そこで参加者に変更するかどうかの選択が可能。さて、Cに変えるかどうか?
(2)ABCの中から、ランダムで1つが参加者に割り当てられる(例えばA)、司会者がハズレを1つ開ける(例えばBを開ける)、そこで参加者に変更するかどうかの選択が可能。さて、Cに変えるかどうか?

(1)の場合と(2)の場合では違いがあるかもしれない。

3囚人問題

同種の問題(むしろこちらが元ネタで、テレビ番組が採用したのであろうが)として、3囚人問題が有名である。 カードゲームにおいては、制限選択(restricted choice)と呼ばれている。